做家常菜网站学生做网站的工作室

做家常菜网站,学生做网站的工作室,建设手机网站费用,公司开办流程初等变换、矩阵的标准形、阶梯形与行最简阶梯形、初等矩阵这几个概念是线性代数中矩阵化简的核心#xff0c;是求解线性方程组、计算矩阵秩、求逆矩阵的基础工具#xff0c;彼此关联紧密。一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换#xff0c;两者操作规…初等变换、矩阵的标准形、阶梯形与行最简阶梯形、初等矩阵这几个概念是线性代数中矩阵化简的核心是求解线性方程组、计算矩阵秩、求逆矩阵的基础工具彼此关联紧密。一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换两者操作规则一致只是作用对象不同。1. 定义设 A 是 m×n 矩阵以下三种操作称为矩阵的初等行变换换行变换交换矩阵的任意两行记作交换第 i,j 行。数乘变换用一个非零常数 k乘以矩阵的某一行记作。倍加变换将某一行的 k 倍加到另一行上记作第 j 行的 k 倍加到第 i 行。初等列变换的定义完全类似只需将 “行” 换成 “列”记作、、2. 核心性质可逆性初等变换是可逆的且逆变换是同类型的初等变换换行变换的逆变换是自身数乘变换的逆变换是倍加变换的逆变换是。等价矩阵若矩阵 A 经过有限次初等变换得到矩阵 B则称 A 与 B等价记作 A≅B。等价矩阵的性质反身性A≅A对称性若 A≅B则 B≅A传递性若 A≅B 且 B≅C则 A≅C等价矩阵的秩相等。二、阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵通过初等行变换任何矩阵都可以化为阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵这是矩阵化简的核心目标。1. 阶梯形矩阵行阶梯形定义满足两个条件矩阵的零行所有元素都为 0 的行全部位于非零行的下方各非零行的首非零元从左到右第一个不为 0 的元素也称主元的列标随着行标的增大而严格增大。示例3×4 阶梯形矩阵2. 行最简阶梯形矩阵定义在阶梯形矩阵基础上增加两个条件各非零行的首非零元都是 1每个首非零元所在列的其他元素都为 0。示例3×4 行最简阶梯形矩阵3. 化简步骤初等行变换法4. 核心作用阶梯形矩阵直接读出矩阵的秩秩 非零行的行数行最简阶梯形矩阵求解线性方程组的通解、求逆矩阵的初等变换法的核心步骤。三、矩阵的标准形1. 定义对于 m×n 矩阵 A若其秩为 r则 A 等价于唯一的矩阵其中 Er​ 是 r 阶单位矩阵O 是零矩阵。这个矩阵 F 称为 A 的等价标准形简称标准形。2. 化简方法对矩阵 A 同时进行初等行变换和初等列变换步骤如下先通过初等行变换将 A 化为行最简阶梯形再通过初等列变换将主元列以外的列消为零最终得到标准形。示例3. 核心性质任何矩阵的标准形由其行数 m、列数 n、秩 r唯一确定两个矩阵等价 ⟺ 它们的标准形相同n 阶方阵 A 可逆 ⟺A 的标准形是 n 阶单位矩阵 En​。四、初等矩阵1. 定义由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵分为三类对应三种初等变换初等变换类型对应的初等矩阵记号示例3 阶交换 E 的第 i,j 行 / 列换行 / 列初等矩阵P(i,j)​​非零常数 k 乘 E 的第 i 行 / 列数乘初等矩阵P(i(k))E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行 / 第 i 列的 k 倍加到第 j 列倍加初等矩阵P(i,j(k))​​2. 核心定理初等变换与初等矩阵的关系关键结论对矩阵 A 进行初等行变换 ⟺ 左乘对应的初等矩阵对 A 进行初等列变换 ⟺ 右乘对应的初等矩阵。3. 初等矩阵的性质初等矩阵都是可逆矩阵且其逆矩阵是同类型的初等矩阵可逆矩阵的等价结论n 阶方阵 A 可逆 ⟺A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积即AP1​P2​⋯Ps​其中 P1​,P2​,…,Ps​ 均为初等矩阵。初等矩阵的转置4. 应用初等变换求逆矩阵的原理求逆矩阵的初等行变换法 [A∣E]初等行变换​[E∣A−1]本质是Ps​⋯P2​P1​AE⟹A−1Ps​⋯P2​P1​因此 Ps​⋯P2​P1​EA−1即对 E 施加相同的初等行变换就得到 A−1。