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合肥网站开发招聘,网络策划公司全网天下,北京装饰公司排行榜,金融网站开发文档下载调和级数求和#xff08;Harmonic Series#xff09;模型是时间复杂度分析中稍微进阶一点的考点。它通常出现在**“跳跃式”循环或者“倍数”相关**的题目中。 如果说前面的题目是“送分题”#xff0c;这个模型就是**“分水岭题”**#xff0c;掌握了它#xff0c;你的算…调和级数求和Harmonic Series模型是时间复杂度分析中稍微进阶一点的考点。它通常出现在**“跳跃式”循环或者“倍数”相关**的题目中。如果说前面的题目是“送分题”这个模型就是**“分水岭题”**掌握了它你的算法分析水平就上了一个台阶。一、 经典代码长什么样识别特征最典型的代码特征是内层循环的步长increment依赖于外层循环变量i。请看这段经典代码// 外层标准的线性循环for(inti1;in;i){// 内层注意看步长是 j i而不是 j// 这意味着 j 每次跳跃 i 个单位for(intj1;jn;ji){sum;// 基本操作}}特征识别外层循环i从 1 到n。内层循环j每次增加i即j遍历的是i的倍数i,2i,3i,…i, 2i, 3i, \dotsi,2i,3i,…。二、 为什么叫“调和级数”数学推导我们像之前一样把每一步内层循环执行的次数列出来当i1i 1i1时j每次加 1从 1 走到nnn。执行次数 n/1nn/1 nn/1n次。当i2i 2i2时j每次加 2 (2, 4, 6…)。执行次数 n/2n/2n/2次。当i3i 3i3时j每次加 3 (3, 6, 9…)。执行次数 n/3n/3n/3次。…当iki kik时执行次数 n/kn/kn/k次。总执行次数T(n)T(n)T(n)求和T(n)n1n2n3⋯nnT(n) \frac{n}{1} \frac{n}{2} \frac{n}{3} \dots \frac{n}{n}T(n)1n​2n​3n​⋯nn​我们提取公因数nnnT(n)n×(11213⋯1n)T(n) n \times \left( 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \dots \frac{1}{n} \right)T(n)n×(121​31​⋯n1​)重点来了括号里的部分11213⋯1n1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \dots \frac{1}{n}121​31​⋯n1​就是数学上著名的调和级数。数学结论告诉我们112⋯1n≈ln⁡nC(C 是欧拉常数)1 \frac{1}{2} \dots \frac{1}{n} \approx \ln n C \quad (C \text{ 是欧拉常数})121​⋯n1​≈lnnC(C是欧拉常数)换句话说调和级数的和增长趋势等于log⁡n\log nlogn。三、 最终复杂度T(n)n×O(log⁡n)O(nlog⁡n)T(n) n \times O(\log n) O(n \log n)T(n)n×O(logn)O(nlogn)结论如果你看到内层循环是j i(按倍数跳跃)那么这个两层循环的总复杂度不是O(n2)O(n^2)O(n2)而是O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。四、 哪里会用到这个知识点实战场景这个模型最著名的应用就是**“素数筛法”埃氏筛Sieve of Eratosthenes**。场景找出nnn以内的所有素数。算法逻辑找到 2把 2 的倍数4, 6, 8…划掉。找到 3把 3 的倍数6, 9, 12…划掉。…找到iii把iii的倍数划掉。这个“划掉倍数”的过程代码写出来就是上面的那个循环结构。所以埃氏筛的时间复杂度是O(nlog⁡log⁡n)O(n \log \log n)O(nloglogn)比nlog⁡nn \log nnlogn还要快一点点因为外层只遍历素数但考试中如果问通用倍数循环答O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)即可。五、 考前极速记忆卡在你的复习表格里可以加上这一行循环特征典型代码片段复杂度记忆口诀倍数跳跃型for(i1; in; i)for(j1; jn; ji)O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)内层加i调和级数结果nlog⁡nn \log nnlogn对比线性累加型for(i1; in; i)for(j1; jn; j)O(n2)O(n^2)O(n2)内层加1矩形面积结果n2n^2n2对比指数跳跃型for(i1; in; i*2)O(log⁡n)O(\log n)O(logn)外层乘2折纸对半结果log⁡n\log nlogn掌握了这个关于循环嵌套的时间复杂度题目你就基本上没有盲区了。